Question

函数f（x）=x+

2a

x

．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）若a=2，证明函数在（2，+∞）单调增；
（3）对任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，求a的范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断并证明函数的奇偶性；
（2）若a=2，根据函数单调性的定义即可证明函数在（2，+∞）单调增；
（3）对任意的x∈（1，2），f（x）＞3恒成立，转化为求函数f（x）的最小值即可，求a的范围．

解答： 解：（1）函数的定义域范围（-∞，0）∪（0，+∞），
则f（-x）=-x-

2a

x

=-（x+

2a

x

）=-f（x）．
故函数f（x）是奇函数；
（2）若a=2，函数在（2，+∞）单调增；
证明：若a=2，则f（x）=x+

4

x

，
设2＜x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=x₂+

4

x1

-x₁-

4

x2

=（x₂-x₁）+

4(x2-x1)

x1x2

=

(x2-x1)(x1x2-4)

x1x2

，
∵2＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-4＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
则f（x₂）＞f（x₁）．
故函数在（2，+∞）单调增；
（3）

由题意：对于任意x∈(1，2)，x+ 2a x ＞3恒成立． 从而对于任意x∈(1，2)， 2a x ＞3-x恒成立． 即对于任意x∈(1，2)，a＞ 3x-x2 2 恒成立…(12分) 设g(x)= 3x-x2 2 ，则当x= 3 2 时g(x)有最大值 9 8 ，…(14分) 所以，a＞ 9 8 …(15分)

点评：本题主要考查函数奇偶性，单调性的判断和证明，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质．