Question

已知向量

a

，

b

满足

a

=（-2sinx，

3

（cosx+sinx）），

b

=（cosx，cosx-sinx），函数f（x）=

a

•

b

（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[0，

π

2

]的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（I）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的周期性即可得出；
（II）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）函数f（x）=

a

•

b

=-2sinxcosx+

3

（cos²x-sin²x）
=sin2x+

3

cos2x
=2sin(2x+

2π

3

)，
∴函数f（x）的周期T=

2π

2

=π．
（II）∵x∈[0，

π

2

]，∴(2x+

2π

3

)∈[

2π

3

，

5π

3

]．
∴sin(2x+

2π

3

)∈[-1，

3

2

]．
∴f(x)∈[-2，

3

]．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性与周期性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．