Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线y=-3x+3在点（1，0）处相切，当x∈[-3，3]时，求函数f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：求出f′（x），由函数在x=-2处取得极值得到f′（-2）=0，根据函数与直线在点 （1，0 ）处相切，可得f′（1）=-3，联立两个关于a、b的二元一次方程，求出a和b，由函数过点（1，0），代入求出c的值，则函数f（x）的表达式可求，再求出函数x∈[-3，3]时的单调性，即可求函数f（x）的最大值与最小值．

解答： 解：∵f′（x）=3x²+2ax+b，
∴f′（-2）=3×（-2）²+2a×（-2）+b=0，
化简得：12-4a+b=0  ①
又f′（1）=3+2a+b=-3  ②
联立①②得：a=1，b=-8
又f（x）过点（1，0）
∴1³+a×1²+b×1+c=0，∴c=6．
∴f（x）=x³+x²-8x+6，
∴f′（x）=3x²+2x-8=（3x-4）（x+2），
x∈[-3，3]时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2， 4 3 ）	4 3	（ 4 3 ，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	12	单调递增	18	单调递减		单调递增	18

由上表可知，当x∈[-3，3]，函数f（x）的最大值是18，最小值是-

14

27

．

点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在曲线上某点处的导数值，就是曲线在该点处的切线的斜率，是中档题．