Question

已知函数g（x）=log_a（1-x），h（x）=log_a（x+3）（0＜a＜1）
（1）设f（x）=g（x）-h（x），用定义证明函数f（x）在定义域上是增函数；
（2）设F（x）=g（x）+h（x），若函数F（x）的值域是[-2，+∞），求a的值．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（x）=g（x）-h（x）=loga(1-x)-loga(x+3)=loga

1-x

x+3

，由

1-x＞0 3+x＞0

，得函数f（x）的定义域为（-3，1），由此能证明函数f（x）在（-3，1）上是增函数，
（2）F（x）=log_a（-x²-2x+3），由-3＜x＜1，得-x²-2x+3=-（x+1）²+4∈（0，4]．由此能求出a．

解答： 解：（1）∵g（x）=log_a（1-x），h（x）=log_a（x+3）（0＜a＜1），
∴f（x）=g（x）-h（x）=loga(1-x)-loga(x+3)=loga

1-x

x+3

，
由

1-x＞0 3+x＞0

，得-3＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域为（-3，1），
设-3＜x₁＜x₂＜1，μ（x）=

1-x

3+x

，
μ(x1)-μ(x2)=

1-x1

3+x1

-

1-x2

3+x2

=

4(x2-x1)

(3+x1)(3+x2)

，
∵-3＜x₁＜x₂＜1，∴（3+x₁）（3+x₂）＞0，x₂-x₁＞0，
∴

4(x2-x1)

(3+x1)(3+x2)

＞0，即μ（x₁）＞μ（x₂）＞0，
又∵0＜a＜1，∴log_aμ（x₁）＜log_aμ（x₂），
即f（x₁）＜f（x₂），∴函数f（x）在（-3，1）上是增函数，
（2）F（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）
=log_a（1-x）（x+3）=log_a（-x²-2x+3），
∵-3＜x＜1，∴-x²-2x+3=-（x+1）²+4∈（0，4]．
又0＜a＜1，∴loga(-x2-2x+3)≥loga4=-2，
解得a=

1

2

．

点评：本题考查函数是增函数的证明，考查实数值a的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．