Question

已知函数f（x）=sinx-

3

cosx+2，向量

a

=（2，-cosα），

b

=（1，cot（α+

π

2

））（0＜α＜

π

4

）且

a

•

b

=

7

3

（Ⅰ）求f（x）在区间[

2π

3

，

4π

3

]上的最值；
（Ⅱ）求

2cos2α-sin2(α+π)

cosα-sinα

的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）化简函数的解析式为f（x）=2sin(x-

π

3

)+2，根据x∈[

2π

3

，

4π

3

]，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值和最小值．
（Ⅱ）由

a

•

b

=

7

3

，求得sinα=

1

3

，再根据0＜α＜

π

4

，以及

2cos2α-sin2(α+π)

cosα-sinα

=2cosα，计算求得结果．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=sinx-

3

cosx+2=2sin(x-

π

3

)+2，∵x∈[

2π

3

，

4π

3

]，∴x-

π

3

∈[

π

3

，π]，∴f（x）的最大值是4，最小值是2．
（Ⅱ）∵

a

•

b

=2-cosαcot(α+

π

2

)=2+sinα=

7

3

，∴sinα=

1

3

，
∴

2cos2α-sin2(α+π)

cosα-sinα

=

2cos2α-sin2α

cosα-sinα

=2cosα=2

1-sin2α

=

4 2

3

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．