Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=2cosα y=2+2sinα

（α为参数），曲线C₂的参数方程为

x=2+2cosβ y=2sinβ

（β为参数），M是C₁上的点，P是C₂上的点，且满足

OP

=2

OM

．
（Ⅰ）求C₁和C₂的公共弦长；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求M，P的极坐标．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把曲线C₁和线C₂的参数方程消去参数，化为直角坐标方程，再把这两个圆的方程联立方程组求得两个圆的交点坐标，可得公共弦长．
（Ⅱ）求得曲线C₁和曲线C₂的极坐标方程，根据

OP

=2

OM

，分类讨论，求得点P和点M的极坐标．

解答： 解：（Ⅰ）把曲线C₁的参数方程为

x=2cosα y=2+2sinα

（α为参数）消去参数，化为直角坐标方程为x²+（y-2）²=4，表示以C₁（0，2）为圆心，半径等于2的圆．
把曲线C₂的参数方程为

x=2+2cosβ y=2sinβ

（β为参数）消去参数，化为直角坐标方程为 （x-2）²+y²=4，表示以C₂（0，2）为圆心、半径等于2的圆．
由

x2+(y-2)2=4 (x-2)2+y2=4

 求得

x=0 y=0

，或

x=2 y=2

，故两个圆的交点坐标为（0，0）、（2，2），故公共弦长为2

2

．
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4sinθ，
显然，当点P、M在极点时，满足条件．
或者 4cosθ=8sinθ，求得tanθ=

1

2

，∴sinθ=

5

5

，cosθ=

2 5

5

，∴点P（

8 5

5

，arctan

1

2

）、M（

4 5

5

，arctan

1

2

）．

点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程、把直角坐标方程化为极坐标方程，求点的极坐标，属于基础题．