Question

已知函数f（x）=x•（1+lnx）．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若x₁，x₂＞0，p₁，p₂＞0，p₁+p₂=1，求证：p₁f（x₁）+p₂f（x₂）≥f（p₁x₁+p₂x₂）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）对函数求导，导函数小于等于零，函数是单调减函数，求出减区间，即可得到单调增区间，也可获得极值．
（2）令g（x）=p₁f（x₁）+p₂f（x）-f（p₁x₁+p₂x）．不妨设0＜x₁≤x≤x₂，只需证明g（x₂）≥g（x₁），可通过证明g′（x）≥0得出g（x）在（x₁，x₂）是增函数．

解答： 解：（1）由于f′（x）=2+lnx，令f′（x）=0得x=e^-2，列表：

x	（0，e-2）	e-2	（e-2，+∞）
f′（x）	负	0	正
f（x）	单减	极小值	单增

于是f（x）的单调递减区间是（0，e^-2），单调递增区间是（e^-2，+∞），
在x=e^-2处取得极小值，极小值为f（e^-2）=-

1

e2

，无极大值；
（2）令g（x）=p₁f（x₁）+p₂f（x）-f（p₁x₁+p₂x）．不妨设0＜x₁≤x≤x₂，
则g′（x）=p₂f′（x）-p₂f′（p₁x₁+p₂x）．
∵p₁x₁+p₂x-x=p₁x₁-p₁x≤0，
∴p₁x₁+p₂x≤x，而f′（x）=2+lnx在（0，+∞）上是增函数，所以f′（x）≥f′（p₁x₁+p₂x）．
∴g′（x）≥0，g（x）在（x₁，x₂）是增函数，所以g（x₂）≥g（x₁），
即p₁f（x₁）+p₂f（x₂）≥f（p₁x₁+p₂x₂）．

点评：本题考查函数的单调性与导数，函数性质的应用，不等式的证明考查分析解决问题能力．本题关键是构造出合适的函数，利用单调性证明不等式．