Question

已知函数f（x）=|x-2|+|2x-1|
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）若?x∈R，不等式f（x）＜

1

2

m²+m成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）去绝对值，将含绝对值不等式变成一次不等式，即可求解；
（2）根据条件知，f（x）的最小值小于

1

2

m2+m即可，所以求f（x）的最小值，解关于m的一元二次不等式即得m的取值范围．

解答： 解：（1）x＜

1

2

时，由原不等式得：2-x+1-2x＞2，解得x＜

1

3

；

1

2

≤x≤2时，由原不等式得：2-x+2x-1＞2，解得x＞1；
x＞2时，由原不等式得：x-2+2x-1＞2，解得x＞

5

3

；
∴原不等式的解集为(-∞，

1

3

)∪(1，+∞)；
（2）f(x)=

3-3x x＜ 1 2 x+1 1 2 ≤x≤2 3x-3 x＞2

，可知f（x）的最小值为

3

2

；
∴

3

2

＜

1

2

m2+m解得m＜-3，或m＞1；
∴m的取值范围为（-∞，-3）∪（1，+∞）．

点评：考查含绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法，对于第二问，要弄清让f（x）的最小值满足不等式即得m的取值范围．