Question

已知圆C₁：x²+（y-1）²=4．
（1）求过点A（2，4）且与圆C₁相切的直线方程；
（2）若圆C₁与圆C₂：x²+y²-2ax-4y+a²-12=0（a＞0）相交，求a的范围；
（3）斜率为1的直线l与圆C₁交与A，B两点，且弦AB=2

2

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设过点A（2，4）的直线方程为：x=2或y-4=k（x-2），运用直线与圆相切的条件：d=r，求出k即可；
（2）运用两圆相交的条件，两圆的圆心距离介于半径之差的绝对值和半径之和间，即可求出a的范围；
（3）设直线l：y=x+b，运用直线与圆相交的弦长公式：AB=2

r2-d2

，即可求出直线方程．

解答： 解：（1）设过点A（2，4）的直线方程为：x=2或y-4=k（x-2）即kx-y+4-2k=0，
由于圆C₁的圆心为（0，1），半径为2，故x=2与圆相切；
由相切的条件：d=r，得到

|3-2k|

k2+1

=2，解得k=

5

12

，则直线为：5x-12y+38=0．
故所求的直线为：x=2或5x-12y+38=0．
（2）圆C₂的圆心是（a，2），半径是4，
由相交的条件得，4-2＜

a2+1

＜4+2，由于a＞0，解得

3

＜a＜

35

，
即a的范围是（

3

，

35

）；
（3）设直线l：y=x+b，C₁到直线l的距离为d=

|b-1|

2

，
由弦长公式，得AB=2

4-d2

=2

2

，即d=

2

，
则b=3或-1．
故直线l的方程为：y=x+3或y=x-1．

点评：本题考查直线方程与圆的方程，注意直线的斜率不存在的情况，考查直线与圆的位置关系：相交、相切，圆与圆的位置关系：相交，以及弦长公式，考查运算能力，属于中档题．