Question

如图，已知正三棱柱ABC-A′B′C′棱长均为2，E为AB中点．点D在侧棱BB′上．
（Ⅰ）求AD+DC′的最小值；
（Ⅱ）当AD+DC′取最小值时，在CC′上找一点F，使得EF∥面ADC′．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,多面体和旋转体表面上的最短距离问题

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）将三棱柱的侧面展开，由题意知当D为BB′中点时，AD+DC′最小，由此能求出AD+DC′的最小值．
（Ⅱ）过点E作EM∥AD交BB′于M，M为BD中点，过点M作MF∥DC′交CC′于F，由面MEF∥面ADC′，得EF∥面ADC′．

解答： 解：（Ⅰ）如图，将三棱柱的侧面展开，
由题意知当D为BB′中点时，AD+DC′最小，
最小值为d=

42+22

=2

5

．（4分）
（Ⅱ）过点E作EM∥AD交BB′于M，所以M为BD中点，（6分）
过点M作MF∥DC′交CC′于F，
∴C′F=

1

2

，（10分）
∵EM∩MF=M，
∴面MEF∥面ADC′，∴EF∥面ADC′．（12分）

点评：本题考查两线段和的最小值的求法，考查使直线与平面平行的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．