Question

如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=3，AC=4，BC=5，且D，E，F分别为BC，PC，AB的中点．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）在棱PA上是否存在一点G，使得FG∥平面ADE？证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由勾股定理得AC⊥AB，由线面垂直得PA⊥AC．从而AC⊥平面PAB．由此能证明AC⊥PB．
（2）取PA中点G时，FG∥平面ADE．由D、E分别是棱BC、PC的中点，得DE∥PB从而PB∥平面ADE，由FG∥PB，又FG?平面ADE，能证明FG∥平面ADE．

解答： （1）证明：在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²
∴AC⊥AB，
又PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴PA⊥AC．又PA∩AB=A，
∴AC⊥平面PAB．
而PB?平面PAB，∴AC⊥PB．
（2）解：取PA中点G时，FG∥平面ADE．
证明如下：
∵D、E分别是棱BC、PC的中点，
∴DE∥PB． 又PB?平面ADE，DE?平面ADE
∴PB∥平面ADE，
在棱PA上取中点G，连结FG，
∵F是AB中点，
∴FG∥PB，又FG?平面ADE，
∴FG∥平面ADE．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查使直线与平面平行的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．