Question

设函数f（x）=alnx+bx²+x的极值点是x=1和x=2．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[1，3]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′(x)=

a

x

+2bx+1，且

a+2b+1=0 a 2 +4b+1=0

，由此能求出a，b的值．
（2）由（1）知f′(x)=-

2

3x

-

x

3

+1=

-(x2-3x+2)

3x

=

-(x-1)(x-2)

3x

(x＞0)，由此利用导数性质能求出在[1，3]上f（x）最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=alnx+bx²+x，
∴f′(x)=

a

x

+2bx+1，
由题意得f'（1）=0=f'（2），
∴

a+2b+1=0 a 2 +4b+1=0

，解得∴

a=- 2 3 b=- 1 6

．
（2）由（1）知f(x)=-

2

3

lnx-

1

6

x2+x，
f′(x)=-

2

3x

-

x

3

+1=

-(x2-3x+2)

3x

=

-(x-1)(x-2)

3x

(x＞0)，
∴在（1，2）内f'（x）＞0，
在（2，3）内，f'（x）＜0，
∴在[1，2]上f（x）单调增，
在（2，3]上f（x）单调减，
∴在[1，3]上f（x）最大值是f(2)=

4

3

-

2

3

ln2．

点评：本题主要考查实数的求法，考查函数在闭区间上的最大值的求法、考利用导数研究函数的单调性等基础知识能力，分类讨论等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．