Question

在圆O：x²+y²=4上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M形成轨迹C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）若直线y=x与曲线C交于AB两点，Q为曲线C上一动点，求△ABQ面积的最大值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设出M点的坐标，由M为线段PD的中点得到P的坐标，把P的坐标代入圆x²+y²=4整理得线段PD的中点M的轨迹方程；
（2）联立直线y=x和椭圆x2+

y2

4

=1，求出AB的长；设过Q且与直线y=x平行的直线为y=x+t，当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，求出t，和两平行直线间的距离，再由面积公式，即可得到最大值．

解答： 解：（1）设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y₁）
∵M为线段PD的中点，∴y₁+0=2y，y₁=2y．
又∵P（x，y₁）在圆x²+y²=4上，∴x2+y12=4，
∴x²+4y²=4，即

x2

4

+y²=1．
∴轨迹C为椭圆，且方程为x2+

y2

4

=1；
（2）联立直线y=x和椭圆x2+

y2

4

=1，得到5x²=4，即x=±

2 5

5

，
即有A（

2 5

5

，

2 5

5

），B（-

2 5

5

，-

2 5

5

），
|AB|=

4 10

5

．
设过Q且与直线y=x平行的直线为y=x+t，
当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，
将y=x+t，代入椭圆方程，得5x²+8tx+4t²-4=0，由相切的条件得，
△=64t²-4×5×（4t²-4）=0，解得，t=±

5

，
则所求直线为y=x+

5

或y=x-

5

，故与直线y=x的距离为

5

2

．
则△ABQ面积的最大为S=

1

2

×

4 10

5

×

| 5 |

2

=2．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系，注意等价的条件，同时考查联立方程，消去变量的运算能力，属于中档题．