Question

设f（x）=x³+ax²+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=-b，其中常数a，b∈R．
（1）求a，b的值．
（2）设g（x）=

f′(x)

ex

，求函数g（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据已知中f（x）=x³+ax²+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f′（x），结合f′（1）=2a，f′（2）=-b，能求出a，b的值．
（2）根据g（x）=f′（x）e^-1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g′（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+1，
∴f′（x）=3x²+2ax+b．
令x=1，得f′（1）=3+2a+b=2a，解得b=-3
令x=2，得f′（2）=12+4a+b=-b，
因此12+4a+b=-b，解得a=-

3

2

．
（2）由（1）知g（x）=（3x²-3x-3）e^-x
从而有g′（x）=（-3x²+9x）e^-x
令g′（x）=0，则x=0或x=3
∵当x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，
当x∈（0，3）时，g′（x）＞0，
当x∈（3，+∞）时，g′（x）＜0，
∴g（x）=（3x²-3x-3）e^-x在x=0时取极小值g（0）=-3，
在x=3时取极大值g（3）=15e^-3．

点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．