Question

已知函数f（x）=ln（x+

1+x2

），
（Ⅰ）判断并证明函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数y=f（x）在R上的单调性；
（Ⅲ）当x∈[1，2]时，不等式f（a•4^x）+f（2^x+1）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出函数的定义域，然后结合f（-x）=-f（x）可得函数的奇偶性；
（2）直接利用函数单调性的定义证明；
（3）把不等式f（a•4^x）+f（2^x+1）＞0转化为f（a•4^x）＞-f（2^x+1），结合函数是奇函数得到a＞-(

1

2

)2x-(

1

2

)x，由复合函数的单调性求得[-(

1

2

)2x-(

1

2

)x]在区间[1，2]上的最大值，则答案可求．

解答： 解：（1）函数f（x）=ln（x+

1+x2

）为奇函数．
要使函数有意义，则x+

1+x2

＞0，
∵

1+x2

＞

x2

=|x|≥x，
∴x+

1+x2

＞0的解集为R，即函数f（x）的定义域为R，
又f(-x)=ln(-x+

1+x2

)=ln(

1

x+ 1+x2

)=-ln(x+

1+x2

)=-f(x)，
∴函数y=f（x）是奇函数；
（2）设x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=ln

x1+ 1+x12

x2+ 1+x22

，
∵0≤x₁＜x₂，
∴

1+x12

＜

1+x22

，
∴0＜

x1+ 1+x12

x2+ 1+x22

＜1，
即ln

x1+ 1+x12

x2+ 1+x22

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数y=f（x）在[0，+∞）上为增函数，
又f（x）为奇函数，
∴函数y=f（x）在R上为增函数；
（3）不等式f（a•4^x）+f（2^x+1）＞0等价于f（a•4^x）＞-f（2^x+1）．
∵f（-x）=-f（x），
∴f（a•4^x）＞f（-2^x-1）．
函数y=f（x）在R上为增函数，
∴原不等式等价于a•4^x＞-2^x-1，
即a＞-(

1

2

)2x-(

1

2

)x在区间[1，2]上恒成立，
只需a＞[-(

1

2

)2x-(

1

2

)x]max．
令u=(

1

2

)x，y=-u2-u，
由复合函数的单调性知，[-(

1

2

)2x-(

1

2

)x]在区间[1，2]上为增函数．
∴当x=2时，[-(

1

2

)2x-(

1

2

)x]max=-

5

16

．
即a＞-

5

16

．

点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性的判断与证明，考查了数学转化思想方法及分离变量法，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．