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    在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率e=
    		6
    3
    ，且椭圆C上的点到原点的距离的最大值为
    		3
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）若动点P满足
    OP
    =
    OM
    +3
    ON
    ，其中M、N是椭圆上不同两点，直线OM、ON的斜率之积为-
    1
    3
    ，求动点P的轨迹方程．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
    分析：（1）利用离心率e=
    		6
    3
    ，且椭圆C上的点到原点的距离的最大值为
    		3
    ，建立方程，求出b，即可求椭圆C的方程；
    （2）利用
    OP
    =
    OM
    +3
    ON
    ，所以x=x1+3x2，y=y1+3y2，结合OM、ON的斜率之积为-
    1
    3
    ，即可求动点P的轨迹方程．
    解答： 解：（1）根据题意知a=
    		3
    ，
    		1-
    b2
    a2
    =
    		6
    3
    ，
    所以，b2=1，
    故所求椭圆方程为
    x2
    3
    +y2=1
    （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），动点P（x，y），
    因为M、N在椭圆上，
    所以x1+3y12=3，x2+3y22=3，
    又
    OP
    =
    OM
    +3
    ON
    ，
    所以x=x1+3x2，y=y1+3y2
    则x2+3y2=(x1+3x2)2+3(y1+3y2)2=x12+3y12+9x22+27y22+6x1x2+18y1y2
    =30+6x1x2+18y1y2
    ，
    因为OM、ON的斜率之积为-
    1
    3
    ，
    所以
    y1
    x1
    •
    y2
    x2
    =-
    1
    3
    ，
    即x1x2+3y1y2=0，
    所以动点P的轨迹方程为x2+3y2=30．
    点评：本题考查椭圆的几何性质，考查标准方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定椭圆的标准方程是关键．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知命题P：函数f（x）=（2a-5）x是R上的减函数．命题Q：在x∈R时，不等式x2-ax+2＞0恒成立．若命题“P∪Q”是真命题，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0）的右焦点为B（1，0），右准线与x轴的交点为A（5，0），过点A作直线l交椭圆C于两个不同的点P、Q．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）求直线l斜率的取值范围；
    （3）是否存在直线l，使得|BP|=|BQ|，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=ax3-
    3
    2
    （a+2）x2+6x+b在x=2处取得极值．
    （Ⅰ）求a的值及f（x）的单调区间；
    （Ⅱ）若x∈[1，4]时，不等式f（x）＞b2恒成立，求b的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=ln（x+
    		1+x2
    ），
    （Ⅰ）判断并证明函数y=f（x）的奇偶性；
    （Ⅱ）判断并证明函数y=f（x）在R上的单调性；
    （Ⅲ）当x∈[1，2]时，不等式f（a•4x）+f（2x+1）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    求下列函数的导数：
    （1）y=2x3+log2x；
    （2）y=
    cosx
    sinx
    +2x．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    1
    3
    x3+ax2+bx（a，b∈R）．
    （1）若曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），曲线C在点P处的切线与直线x+2y-14=0垂直，求a，b的值；
    （2）若f（x）在区间（1，2）内存在两个不同的极值点，求证：0＜a+b＜2．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）=ex-x，g（x）=asinx+b，g（x）在（
    π
    6
    ，g（
    π
    6
    ））处的切线方程为6
    		3
    x-12y+18-
    		3
    π=0
    （Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；
    （Ⅱ）求g（x）的解析式；
    （Ⅲ）当x≥0时，g（x）≤mex恒成立，求m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设f（x）=a（x-5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6），则a=
     
    ．

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