Question

已知f（x）=e^x-x，g（x）=asinx+b，g（x）在（

π

6

，g（

π

6

））处的切线方程为6

3

x-12y+18-

3

π=0
（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）求g（x）的解析式；
（Ⅲ）当x≥0时，g（x）≤me^x恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）令f′（x）=e^x-1=0，得x=1，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间与极值．
（Ⅱ）g′（x）=acosx，g′（

π

6

）=

3

2

a=

6 3

12

，由此利用导数的性质能求出g（x）=sinx+1．
（Ⅲ）当x≥0时，sinx+1≤me^x，令h（x）=sinx+1-me^x，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出实数的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）令f′（x）=e^x-1=0，得x=0，（1分）
∴当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f′（x）＜0．
∴f（x）的增区间为（-∞，0），减区间为（0，+∞），
∴f（x）_极小值=f（0）=1．（3分）
（Ⅱ）g′（x）=acosx，g′（

π

6

）=

3

2

a=

6 3

12

，解得a=1．
又g（

π

6

）=

1

2

+b，
∴6

3

•

π

6

-12（

1

2

+b）+18-

3

π=0，∴b=1，
∴g（x）=sinx+1．（ 6分）
（Ⅲ）当x≥0时，sinx+1≤me^x，令h（x）=sinx+1-me^x，
当m＜1时，h（0）=1-m＞0矛盾，（ 8分）
首先证明sinx≤x在[0，+∞）恒成立．
令r（x）=sinx-x，r′（x）=cosx-1≤0，
故r（x）为[0，+∞）上的减函数，
r（x）≤r（0）=0，故sinx≤x，（10分）
由（Ⅰ）知e^x≥x+1，故当m≥1时，
h（x）=sinx+1-me^x≤e^x-me^x
=e^x-me^x=（1-m）e^x≤0，
综上m≥1．（12分）

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．