Question

已知函数

a

=（cosx，

1

2

），

b

=（

3

sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=

a

•

b

-

1

2

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）当x∈（0，

2π

3

）时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=

a

•

b

-

1

2

=sin（2x+

π

6

）-

1

2

，由此可得函数的最小正周期，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的减区间．
（Ⅱ）由x∈（0，

2π

3

），利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=

a

•

b

-

1

2

=

3

sinxcosx+

1

2

cos2x-

1

2

=sin（2x+

π

6

）-

1

2

．
显然，函数的最小正周期为

2π

2

=π，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
可得函数的单调减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．
（Ⅱ）当x∈（0，

2π

3

）时，2x+

π

6

∈（

π

6

，

3π

2

），∴sin（2x+

π

6

）∈（-1，1]，∴f（x）∈（-

3

2

，

1

2

]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．