Question

如图所示，AB⊥平面BCD，DC⊥CB，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC．求AD与平面ABC所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：计算题,空间角

分析：因为AB⊥平面BCD，直线CD在平面BCD内，所以AB⊥CD且∠DAB是AD与平面BCD所成的角，则∠DAB=30°．又BC⊥CD，且AB．BC是平面ABC内的两条相交直线，所以CD⊥平面ABC，则∠DAC是AD与平面ABC所成的角．由此能求出AD与平面ABC所成的角．

解答： 解：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD，且∠DAB是AD与平面BCD所成的角，
∴∠DAB=30°
∵BC⊥CD，AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
∴∠DAC是AD与平面ABC所成的角．
在Rt△ABC中，AB=BC
由勾股定理得AC=

2

AB
在Rt△ABD中，
∵∠DAB=30°
∴AD=2AB
∴在Rt△ACD中，∠ACD=90°
cos∠DAC=

AC

AD

=

2

2

，
∴∠DAC=45°，
∴AD与平面ABC所成的角是45°．

点评：本题考查了直线和平面所成角，考查学生的计算能力，属于中档题．