Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处取得极值10，则f（-1）=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：根据函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值10，可知f′（1）=0和f（1）=10，求出a，b，即可求出f（-1）．

解答： 解：由f（x）=x³+ax²+bx+a²，得f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处取得极值10，
∴f′（1）=0，f（1）=10，
∴

2a+b+3=0 a2+a+b+1=10

，
∴

a=4 b=-11

或

a=-3 b=3

，
当

a=-3 b=3

时，f′（x）=3（x-1）²≥0，∴在x=1处不存在极值；
当

a=4 b=-11

时，f′（x）=3x²+8x-11=（3x+11）（x-1）
∴x∈（-

11

3

，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，∴适合
∴f（-1）=-1+4+11+16=30．
故答案为：30．

点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，注意f′（x₀）=0是x=x₀是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验，这是易错点，属于基础题．