Question

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取得极小值-

2

3

．
（1）求a，b，c，d的值；
（2）若x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）图象关于原点对称，所以f（x）是奇函数，所以b=d=0，根据x=1时，f（x）取得极小值-

2

3

得到：

f′(1)=0 f(1)=- 2 3

，这样即可求得a，c；
（2）先判断出f（x）在[-1，1]上单调递减，这样即得到|f（x₁）-f（x₂）|≤f（-1）-f（1），所以求f（-1），f（1）即可．

解答： 解：（1）∵f（x）的图象关于原点对称；
∴函数f（x）是奇函数，∴b=0，d=0；
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c；
又f（x）在x=1处取得极小值-

2

3

；
∴

f′(1)=3a+c=0 f(1)=a+c=- 2 3

，解得a=

1

3

，c=-1；
（2）f（x）=

1

3

x³-x，f′（x）=x²-1；
∴x∈（-1，1）时，f′（x）＜0；
∴函数f（x）在[-1，1]上单调递减；
f（-1）=

2

3

，f（1）=-

2

3

；
∴函数f（x）在[-1，1]上的值域为[-

2

3

，

2

3

]；
∴x₁，x₂∈[-1，1]，|f(x1)-f(x2)|≤

2

3

-(-

2

3

)=

4

3

．

点评：考查奇函数图象的特点，极小值的概念，导数符号和函数单调性的关系．