Question

如果对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，
（1）求f（0），f（2），f（3）的值和

f(2)

f(1)

+

f(3)

f(2)

+

f(4)

f(3)

+…+

f(2013)

f(2012)

的值；
（2）若当x＞0时，有f（x）＞1成立，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并加以证明．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=1，y=0，求出f（0），令x=y=1，求出f（2），令x=1，y=2求出f（3）；由

f(n+1)

f(n)

=f（1）=2，即可求出所求的和；
（2）运用单调性定义证明，令x₁＞x₂＞0，则x₁-x₂＞0，?x＞0，f（x）=f²（

x

2

）≥0，证明不能为0，再由f（x₁）=
f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂），即可得到单调性．

解答： 解：（1）令x=1，y=0，则f（1）=f（1）f（0），
由于f（1）=2，则f（0）=1，
又∵对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，
∴f（2）=f（1）f（1）=4，f（3）=f（1）f（2）=8，
∴

f(2)

f(1)

=2，

f(n+1)

f(n)

=f（1）=2，
∴

f(2)

f(1)

+

f(3)

f(2)

+

f(4)

f(3)

+…+

f(2013)

f(2012)

=2012f（1）=4024；
（2）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
理由：令x₁＞x₂＞0，则x₁-x₂＞0，而f（x+y）=f（x）•f（y），
∴f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）f（x₂）
∵?x＞0，f（x）=f²（

x

2

）≥0，若存在x₀，使f（x₀）=0，
则f（1）=f（x₀）f（1-x₀）=0这与f（1）=2矛盾，
∴f（x）＞0恒成立，
由x＞0，f（x）＞1，∴f（x₁-x₂）＞1，f（x₂）＞0，
∴f（x₁）=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂），
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，同时考查函数的单调性及证明，注意定义的运用，属于中档题．