Question

已知函数f（x）=x+

2

x

+alnx
（1）若f（x）在x=1处取得极值．求a的值；
（2）若f（x）在[1，2]上为减函数，求a的取值范围；
（3）若g（x）=f（x）-x，当a＞0时，是否存在a使得g（x）在（0，e]上有最小值0，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导函数，利用f（x）在x=1处取得极值．建立方程，可求a、b的值
（2）若f（x）在[1，2]上为减函数，则f′（x）=1-

2

x2

+

a

x

≤0恒成立，利用分离参数法得出a≤

2

x

-x，只需a≤（

2

x

-x）_min，转化为求≤（

2

x

-x）_min
（3）g（x）=f（x）-x=

2

x

+alnx，g′（x）=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

．由ax-2=0，得x=

2

a

．分0＜

2

a

＜e，

2

a

≥e分别求出最小值，解关于a的方程得出a

解答： 解：（1）求导函数，f′（x）=1-

2

x2

+

a

x

，f（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0，a=1．
（2）若f（x）在[1，2]上为减函数，则f′（x）=1-

2

x2

+

a

x

≤0恒成立，即x²+ax-2≤0，
a≤

2

x

-x，只需a≤（

2

x

-x）_min，（

2

x

-x）′=-

2

x2

-1＜0，

2

x

-x单调递减，当x=2时，（

2

x

-x）_min，=-1，
所以a的取值范围a≤-1；
（3）g（x）=f（x）-x=

2

x

+alnx，g′（x）=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

．
由ax-2=0，得x=

2

a

（＞0），
当0＜

2

a

＜e①时，若x∈（0，

2

a

）则g′（x）＜0，若x∈（

2

a

，e）则g′（x）＞0，
所以此时g（x）最小值=g（

2

a

）=a+aln

2

a

=0，

2

a

=

1

e

，a=2e，符合①．
 当

2

a

≥e②时，g′（x）＜0，此时g（x）最小值=g（e）=

2

e

+a=0，a=-

2

e

（舍去）
综上所述，a=2e．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值求解，不等式恒成立，分类讨论的能力．