Question

已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；
（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．

解答： 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1-

a

x

．
（1）当a=2时，f（x）=x-2lnx，f′（x）=1-

2

x

（x＞0），
因而f（1）=1，f′（1）=-1，
所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y-1=-（x-1），
即x+y-2=0
（2）由f′（x）=1-

a

x

=

x-a

x

，x＞0知：
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．
又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a-alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a-alna，无极大值．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题．