Question

已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对于任意x，y∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0，且f（2）=1．
（1）试判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）求函数f（x）在（0，4]的最大值；
（4）求定义在（0，+∞）上的不等式f（3x-2）+f（x）≤4的解集．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇偶性的定义，令y=-1，f（-x）=f（x）+f（-1），所以要求f（-1），并求出f（-1）=0，所以判断出是偶函数；
（2）在（0，+∞）上任取x₁＜x₂，这时候求f（x₁）-f（x₂），利用f（xy）=f（x）+f（y）有：f（x₁）=f（x₁）+f（

x2

x1

），并根据条件得到f（

x2

x1

）＞0，从而得到f（x₂）＞f（x₁），这样就判断出是增函数；
（3）跟据（2）知f（x）在（0，4]上单调增，所以最大值是f（4），求f（4）即可；
（4）原不等式可变成

3x-2＞0 x＞0 f[(3x-2)x]≤4

，所以需求出4对应的自变量的值，解不等式组即可．

解答： 解：（1）令x=y=1，则f（1•1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0；
再令x=y=-1，则f[（-1）•（-1）]=f（-1）+f（-1），解得f（-1）=0；
对于条件f（x•y）=f（x）+f（y），令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）；
又函数f（x）的定义域关于原点对称，∴函数f（x）为偶函数．
（2）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则有

x2

x1

＞1．又x＞1时，f（x）＞0，∴f(

x2

x1

)＞0；
∵f(x2)=f(x1)+f(

x2

x1

)，∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0，即f（x₂）＞f（x₁）；
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）∵f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2），又f（2）=1，∴f（4）=2；
由（2）知f（x）在（0，4]上是增函数，∴f（x）_max=f（4）=2；
（4）∵f（3x-2）+f（x）=f[（3x-2）x]，4=2+2=f（4）+f（4）=f（16）；
∴原不等式等价于f[（3x-2）x]≤f（16）；
又不等式是定义在（0，+∞）上，结合（2）得

3x-2＞0 x＞0 (3x-2)x≤16

；
解得

2

3

＜x≤

8

3

；
∴原不等式的解集是(

2

3

，

8

3

]．

点评：考查奇偶性的定义，利用条件：f（xy）=f（x）+f（y）的能力，函数单调性的定义，根据单调性求函数的最值，根据单调性解不等式．