Question

已知函数f（x）=ax³-

3

2

（a+2）x²+6x+b在x=2处取得极值．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x∈[1，4]时，不等式f（x）＞b²恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，由题意得，f'（2）=0，求出a的值，再令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（Ⅱ）x∈[1，4]时，不等式f（x）＞b²恒成立即为f（x）的最小值大于b²，在[1，4]上恒成立，只要求出最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax³-

3

2

（a+2）x²+6x+b，
∴f'（x）=3ax²-3（a+2）x+6，
∴f'（2）=12a-6a-12+6=0，
∴a=1．
由f'（x）=3x²-9x+6＞0得x＞2或x＜1，
由f'（x）=3x²-9x+6＜0得1＜x＜2，
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，1）、（2，+∞），单调减区间为（1，2）．
（Ⅱ）f(x)=x3-

9

2

x2+6x+b，
当x∈[1，4]时，不等式f（x）＞b²恒成立，即有f（x）的最小值大于b²，
∵f（x）_min=f（2）=2+b，
∴2+b＞b²，-1＜b＜2，
∴b的取值范围（-1，2）．

点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间、求极值、求最值，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．