Question

已知函数f（x）=

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3

x³+ax²+bx（a，b∈R）．
（1）若曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），曲线C在点P处的切线与直线x+2y-14=0垂直，求a，b的值；
（2）若f（x）在区间（1，2）内存在两个不同的极值点，求证：0＜a+b＜2．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在点P（1，2）处的导数，由曲线C在点P处的切线与直线x+2y-14=0垂直可得f′（1）=2，再结合f（1）=2联立方程组求解a，b的值；
（2）由f（x）在区间（1，2）内存在两个不同的极值点可得f′（x）=x²+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根．利用三个二次结合求得a+b的范围．

解答： 解：（1）由f（x）=

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x³+ax²+bx，得：
f′（x）=x²+2ax+b，
∵直线x+2y-14=0的斜率为-

1

2

，
∴曲线C在点P处的切线的斜率为2．
∴f′（1）=1+2a+b=2  ①
∵曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），
∴f（1）=

1

3

+a+b=2  ②
联立①②得a=-

2

3

，b=

7

3

；
（2）∵f（x）在区间（1，2）内存在两个不同的极值点，
∴f′（x）=x²+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根．
∴

△=4(a2-b)＞0 f(1)=1+2a+b＞0 f(2)=4+4a+b＞0 1＜-a＜2

，
解上述不等式组得：-2＜a＜-1且a+b＞-1-a＞0，
则a+b＞0且-2＜a＜-1．
∴a+b＜a²+a=（a+

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2

）²-

1

4

＜2，
∴a+b＜2．
故0＜a+b＜2．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，训练了利用“三个二次”的结合分析二次方程根的问题，是中档题．