Question

已知函数f（x）=x³-3ax-1，a＞0
（1）当a=4，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）a=4时，f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（2）由f（x）在x=-1处取得极值，求出f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），由此求出f（x）_极小值=f（1）=-3，f（x）_极大值=f（-1）=1，再由直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，能求出m的取值范围是（-3，1）．

解答： 解：（1）a=4时，f（x）=x³-12x-1，
∴f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
由f′（x）＜0，得-2＜x＜2，
由f′（x）＞0，得x＜-2或x＞2，
∴f（x）的减区间是（-2，2）；f（x）的增区间是（-∞，-2），（2，+∞）．
（2）∵f（x）=x³-3ax-1，a＞0，
∴f′（x）=3x²-3a，
∵f（x）在x=-1处取得极值，
∴f′（-1）=3-3a=0，解得a=1，
∴f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
由由f′（x）＜0，得-1＜x＜1，
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞1，
∴f（x）的减区间是（-1，1）；f（x）的增区间是（-∞，-1），（1，+∞）．
∴f（x）_极小值=f（1）=-3，f（x）_极大值=f（-1）=1，
∵直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，
∴m的取值范围是（-3，1）．

点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．