Question

已知函数f（x）=ax³+bx在x=1处有极大值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[-

3

，3]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数解析式的求解及常用方法,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）由已知得f′（x）=3ax²+b，且

f′(1)=3a+b=0 f(1)=a+b=2

，由此能求出f（x）=-x³+3x．
（2）由（1）得f′（x）=-3x²+3，令f′（x）=0，得x=-1或x=1，由此利用导数性质能求出f（x）在区间[-

3

，3]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx，
∴f′（x）=3ax²+b，
∵f（x）=ax³+bx在x=1处有极大值2，
∴

f′(1)=3a+b=0 f(1)=a+b=2

，解得a=-1，b=3，
∴f（x）=-x³+3x．
（2）由（1）得f′（x）=-3x²+3，
由f′（x）=0，得x=-1或x=1，
∵f（-

3

）=0，f（-1）=-2，f（1）=2，f（3）=-18．
∴f（x）在区间[-

3

，3]上的最大值为2，最小值为-18．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．