Question

设a∈R，函数f（x）=ax³-3x²．
（1）若x=2是y=f（x）的极值点，求a的值及f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值；
（2）若函数g（x）=f（x）+f′（x）在x∈（0，2]上恒有g（x）≤0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．由此利用导数性质能求出a的值及f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值．
（2）g（x）=ax²+3（a-1）x²-6x=x[ax²+6（a-1）x-6]．g（0）=0．由已知得a≤

3x+6

x2+3x

对一切x∈（0，2]都成立．令h（x）=

3x+6

x2+3x

，x∈（0，2]，则a≤[h（x）]_min，由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³-3x²，f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
∵x=2是函数y=f（x）的极值点，∴f′（2）=0，即6（2a-2）=0，解得a=1，
经验证，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．
∴f（x）=x³-3x²．…（4分）
由f′（x）=3x²-6x=0，得x₀=0，x₂=2，
又x∈[-1，1]，∴x₂=2（舍）
∵f（-1）=-4，f（1）=-2，f（0）=0，
∴f（x）在[-1，1]上的最大值是f（0）=0，最小值是f（-1）=-4．…（6分）
（2）由题设，g（x）=ax²+3（a-1）x²-6x=x[ax²+6（a-1）x-6]．g（0）=0．
当x∈（0，2]上恒有g（x）≤0时，ax³+3（a-1）x²-6x≤0对一切x∈（0，2]都成立，…（7分）
即a≤

3x+6

x2+3x

对一切x∈（0，2]都成立．令h（x）=

3x+6

x2+3x

，x∈（0，2]，
则a≤[h（x）]_min，…（9分）
由h′(x)=

-3(x+2)2-6

(x2+3x)2

＜0，知h（x）=

3x+6

x2+3x

在x∈（0，2]上单调递减，
∴]h（x）]_min=h（2）=

6

5

，∴a的取值范围是（-∞，

6

5

]．…（12分）

点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．