Question

已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，且经过点（

3

2

，1）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l过椭圆的上焦点，交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，已知

m

=（ax₁，by₁），

n

=（ax₂，by₂），若

m

⊥

n

，求直线l的斜率k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：

分析：（Ⅰ）利用离心率e=

3

2

，且经过点（

3

2

，1），建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）设l：y=kx+

3

，代入椭圆方程，利用向量的数量积公式，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，且经过点（

3

2

，1），
∴

c

a

=

3

2

，

1

a2

+

3 4

b2

=1，
∴a=2，b=1，
∴椭圆的方程为

y2

4

+x2=1；
（Ⅱ）设l：y=kx+

3

，代入椭圆方程，可得（k²+4）x²+2

3

kx-1=0，
∴x₁+x₂=-

2 3 k

k2+4

，x₁x₂=-

1

k2+4

，
∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=（k²+4）x₁x₂+

3

k（x₁+x₂）+3
=(k2+4)(-

1

k2+4

)+

3

k•(

-2 3 k

k2+4

)+3=0，
解得k=±

2

．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．