Question

P为椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上任意一点，F₁，F₂为左右焦点．如图所示：
（1）若PF₁的中点为M，求证：|MO|=5-

1

2

|PF₁|
（2）若∠F₁PF₂=60°，求|PF₁|•|PF₂|的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的定义，结合中位线的性质，即可得出结论；
（2）利用余弦定理，结合椭圆的定义，即可求|PF₁|•|PF₂|的值．

解答： （1）证明：在△F₁PF₂中，MO为中位线，
∴|MO|=

|PF2|

2

=

2a-|PF1|

2

=a-

|PF1|

2

=5-

1

2

|PF1|…（5分）
（2）解：∵|PF₁|+|PF₂|=10，∴|PF1|2+|PF2|2=100-2|PF1|•|PF2|
在△PF₁F₂中，cos60°=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

，
∴|PF₁||PF₂|=100-2|PF₁||PF₂|-36，
∴|PF1||PF2|=

64

3

…（12分）

点评：本题考查椭圆的定义，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用椭圆的定义是关键．