Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=-n²+2kn（k∈N₊），且S_n的最大值为4．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）令b_n=

5-an

2n

，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用二次函数的性质可知n=-

2k

2(-1)

=k时，S_n有最大值4，求出k，再利用数列中a_n与 S_n关系：当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1解决．
（2）由（1）知bn=

n

2n-1

，利用错位相消法求和．

解答： 解：（1）由条件知n=-

2k

2(-1)

=k时，S_n有最大值4，所以-k²+2k•k=4k=2，k=-2（舍去）   由条件知Sn=-n2+4n当n=1时，a₁=S₁=3
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=5-2n经验证n=1时也符合a_n=5-2n
故数列{a_n}的通项公式为a_n=5-2n（n∈N₊）
（2）由（1）知bn=

n

2n-1

设数列{b_n}的前项和为T_nTn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

，

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n

2n

，
两式相减得

1

2

Tn=

1

20

+

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

所以，Tn=4-(

1

2

)n-2-

n

2n-1

Tn=4-(

2+n

2n-1

)

点评：本题考查算了通项公式求解，错位相消法数列求和，考查数列中a_n与 S_n关系的应用和计算能力．