Question

函数f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行
（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）对函数进行求导，由题意可得f′（2）=0，f′（1）=-3，代入可求出a、b的值；
（Ⅱ）求出函数的单调区间，可得函数的极大值为f（0）=c，极小值为f（2）=c-4．

解答： 解：（Ⅰ）对函数求导可得f′（x）=3x²+6ax+3b，
因为函数f（x）在x=2取得极值，所以f′（2）=3•2²+6a•2+3b=0
即4a+b+4=0①
又因为图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行
所以f′（1）=3+6a+3b=-3
即2a+b+2=0②
联立①②可得a=-1，b=0
（Ⅱ）f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
当f′（x）＞0时，x＜0或x＞2；当f′（x）＜0时，0＜x＜2
所以函数的单调增区间是 （-∞，0）和（2，+∞）；函数的单调减区间是（0，2）
因此求出函数的极大值为f（0）=c，极小值为f（2）=c-4．

点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的极值，求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．