Question

已知函数f（x）=

lnx-x(x＞0) ex(x2+x+a)(x≤0)

，（其中a∈R，e为自然对数的底数）
（1）证明：当x＞0时，f（x）＜0；
（2）当x≤0时，若函数φ（x）=f（x）-axe^x存在两个相距小于2

3

的极值点，求实数a的取值范围；
（3）证明：?n∈N^*，ln（n!）²＜n（n+1）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）证明：当x＞0时，f（x）=lnx-x；利用导数工具研究得出x=1是f（x）的最大值点，所以f（x）≤f（1）=0
（2）当x≤0时，若函数φ（x）=f（x）-axe^x=e^x[x²+（1-a）x+a]，求导φ′（x）=e^x[x²+（3-a）x+1]，
φ′（x）的两零点即为φ（x）的极值点：x₁+x₂=a-3，x₁x₂=1，x₁+x₂=a-3，x₁x₂=1，
（3）由（1）当x＞0时，lnx＜x；所以ln（n!）=ln1+ln2+ln3+…lnn＜1+2+3+…n=

n(n+1)

2

，
而ln（n!）²=2ln（n!），不等式得证．

解答： 解：（1）证明：当x＞0时，f（x）=lnx-x；f′（x）=

1

x

-1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，
  当x=1时，f′（x）=0，当x＞1时，f′（x）＜0，
∴x=1是f（x）的最大值点，∴f（x）≤f（1）=0
（2）当x≤0时，若函数φ（x）=f（x）-axe^x=e^x[x²+（1-a）x+a]，
φ′（x）=e^x[x²+（3-a）x+1]，
设φ′（x）=0，则x²+（3-a）x+1=0，△=（3-a）²-4＞0，a＞5或a＜1①．
函数φ（x）的极值点x₁+x₂=a-3，x₁x₂=1，
|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(a-3)2-4

≤2

3

，
解得-1＜a＜7②．
由①②得5＜a＜7或-1＜a＜1．
（3）由（1）当x＞0时，lnx＜x；
∴ln（n!）=ln1+ln2+ln3+…lnn＜1+2+3+…n=

n(n+1)

2

ln（n!）²=2ln（n!）＜n（n+1），∴不等式成立．

点评：本题考查利用导数研究函数的性质，并运用性质解决问题，考查放缩法证明不等式，考查分析解决问题能力．