Question

设函数f（x）=ax³+

3

2

（2a-1）x²-6x（a∈R）
（1）当a=

1

3

时，求f（x）的极大值和极小值；
（2）当a＞0时，函数f（x）在区间（-2，3）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出f（x）的导函数，利用导数正负性再求出f（x）的单调区间，从而求出极大值与极小值；
（2）由函数f（x）在区间（-2，3）上是减函数，知′f（x）≤0在（-2，3）上刁成立，得出不等式，求出a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=

1

3

时，当f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-6x，f′（x）=x²-x-6=（x+2）（x-3）
∴当x＜-2或x＞3时，f′（x）＞0，当-2＜x＜3时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-2）和（3，+∞）上单调递增，f（x）在（-2，3）上单调递减，
∴当x=-2时f（x）有极大值，且极大值f（-2）=

22

3

，当x=3时f（x）有极小值，且极小值f（3）=-

27

2

；
（2）f′（x）=3ax²+3（2a-1）x-6=3（x+2）（ax-1）=3a（x+2）（x-

1

a

），
∵a＞0，函数f（x）在区间（-2，3）上是减函数，
∴

1

a

≥3，得0＜a≤

1

3

，
即a的取值范围为（0，

1

3

]．

点评：本题考查了由函数的导数求函数的极值，由函数的单调性，求式中参数问题，运用了等价转化思想．属于基础题．