Question

已知定义在R上的函数f（x）满足条件f（x+2）=-f（x）且f（-x-1）=-f（x-1），给出下列命题：
①函数f（x）为周期函数
②函数f（x）为偶函数
③函数f（x）为奇函数
④函数f（x）在R上为单调函数
⑤函数f（x）的图象关于点（-1，0）对称．
其中正确的命题是（　　）

• A、①③⑤
• B、②④⑤
• C、①③④
• D、①②⑤

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：由条件f（x+2）=-f（x），可判断函数的周期，可判断①；由条件f（x+2）=-f（x），f（-x-1）=
-f（x-1），可推出f（-x-2）=f（x+2），即可判断②③④，由f（-x-1）=-f（x-1），和中点坐标公式，可判断⑤．

解答： 解：∵定义在R上的函数f（x）满足条件f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是以4为最小正周期的函数，
故①对；
∵f（-x-1）=-f（x-1），
∴f（-x-2）=-f（x）
即f（-x-2）=f（x+2），
即有f（-x）=f（x），
故f（x）为偶函数，
故②对，③错，④错；
∵f（-x-1）=-f（x-1），
即f（-1-x）+f（-1+x）=0，
由中点坐标公式，可知，f（x）的图象关于点（-1，0）对称，
故⑤对．
故选：D．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的周期性和奇偶性，对称性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．