Question

将一个4×4棋盘中的8个小方格染黑，使每行每列都恰有两个黑格，则不同的染法种数是（　　）

• A、60
• B、78
• C、84
• D、90

Answer 1

考点：排列、组合的实际应用

专题：计算题,排列组合

分析：根据题意，先分析第一行的染法数目，进而分类讨论第一行染好后的3种情况，①第二行的黑格均与第一行的黑格同列，②第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，③第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，依次分析第三、四行的染法数目，综合可得第二、三、行的染法数目，由分步计数原理可得答案．

解答： 解：第一行染2个黑格有C₄²种染法；
第一行染好后，有如下三种情况：
①第二行的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有1种染法；
②第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有C₄²种染法，第四行的染法随之确定；
③第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，而第一、第二这两行染好后，第三行的黑格必然有一个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行染法随之确定．
因此，共有染法为：6×（1+6+4×2）=90（种）．
故选：D．

点评：本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的运用，注意要先确定第一行的情况，进而分析其他三行的情况．