Question

已知：f（x）=

1

2

x²-（a²+2）x+（a²+1）lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极大值与极小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=1时，f′（x）=x-3+

2

x

=

(x-1)(x-2)

x

，（x＞0），由此利用函数的性质能求出f（x）的极大值与极小值．
（Ⅱ）f′（x）=x-（a²+2）+

a2+1

x

=

(x-1)(x-a2-1)

x

，（x＞0），由此利用分类讨论思想和导数的性质能求出f（x）的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）…（1分）
当a=1时，f（x）=

1

2

x²-3x+2lnx
f′（x）=x-3+

2

x

=

(x-1)(x-2)

x

，（x＞0）…（3分）
由f′（x）=0得x=1或x=2…（4分）
则x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值- 5 2	↘	极小值-4+2ln2	↗

∴f（x）_极大值=-

5

2

f（x）_极小值=-4+2ln2…（6分）
（Ⅱ）f′（x）=x-（a²+2）+

a2+1

x

=

(x-1)(x-a2-1)

x

，（x＞0）…（8分）
①当a=0时，f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，
∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；…（9分）
②当a≠0时，
由f′（x）＞0得，x＞a²+1或0＜x＜1，
由f′（x）＜0得，1＜x＜a²+1，
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（ a²+1，+∞），
单调递减区间为（1，a²+1），…（11分）
由①②得：当a=0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a≠0时，f（x）的单调递增区间为（0，1），（ a²+1，+∞），
单调递减区间为（1，a²+1）…（12分）

点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．