Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁，且E是BC中点．
（I）求证：A₁B∥平面AEC₁；
（Ⅱ）求证：B₁C⊥平面AEC₁．

Answer 1

分析：对（I），根据三角形的中位线平行于底边，在平面内作平行线，再由线线平行⇒线面平行．
对（II），根据直棱柱的性质，侧棱与侧面都与底面垂直，可证平面内的AE与B₁C垂直；
利用平面几何与三角函数知识，证C₁E与B₁C垂直；再由线线垂直⇒线面垂直．

解答：证明：（I） 连接A₁C交AC₁于点O，连接EO
∵ACC₁A₁为正方形，∴O为中点
∴EO∥A₁B，EO?平面AEC₁，A₁B?平面AEC₁，
∴A₁B∥平面AEC₁．
（Ⅱ）∵AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥BC
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴AE⊥平面BB₁C₁C，B₁C?平面BB₁C₁C，
∴B₁C⊥AE
在矩形BCC₁B₁中，tan∠CB₁C₁=tan∠EC₁C=

2

2

，
∵∠CB₁C₁+∠B₁CC₁=

π

2

∴∠B₁CC₁+∠EC₁C═

π

2

，
∴B₁C⊥EC₁，
又AE∩EC₁=E，
∴B₁C⊥平面AEC₁

点评：本题考查线面垂直的判定、线面平行的判定．证明（I）也可由面面平行证线面平行，即取B₁C₁的中点F，证平面BFA₁∥平面AEC₁．在证明（II）时，利用三角函数知识与平面几何知识证线线垂直也是常用方法．