Question

3．某学校对高三学生一次模拟考试的数学成绩进行分析，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图．
（Ⅰ）根据频率分布直方图估计这次考试全校学生数学成绩的众数、中位数和平均值；
（Ⅱ）若成绩不低于80分为优秀成绩，视频率为概率，从全校学生中有放回的任选3名学生，用变量ξ表示3名学生中获得优秀成绩的人数，求变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图得[70，80）对应的小矩形最高，能出众数，由频率分布直方图的性质能求出中位数和综合素质成绩的平均值．
（Ⅱ）由频率分布直方图知优秀率为0.3，由题意知ξ～B（3，0.3），由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图得[70，80）对应的小矩形最高，
∴众数为：$\frac{70+80}{2}$=75，
∵[50，70）的频率为（0.012+0.018）×10=0.3，
[70，80）的频率为0.04×10=0.4，
∴中位数为：70+$\frac{0.5-0.3}{0.4}×10$=75，
平均值为：55×0.12+65×0.18+75×0.40+85×0.22+95×0.08=74.6
所以综合素质成绩的平均值为74.6． …（4分）
（Ⅱ）由频率分布直方图知优秀率为10×（0.008+0.022）=0.3，
由题意知ξ～B（3，0.3），$P（ξ=k）=C_3^k{（0.3）^k}{（0.7）^{3-k}}$，…（6分）
$P（ξ=0）=C_3^0{（0.3）^0}{（0.7）^3}=0.343$，
$P（ξ=1）=C_3^1{（0.3）^1}{（0.7）^2}=0.441$，
$P（ξ=2）=C_3^2{（0.3）^2}{（0.7）^1}=0.189$，
$P（ξ=3）=C_3^3{（0.3）^3}{（0.7）^0}=0.027$…（10分）
故ξ的分布列为

P	0	1	2	3
ξ	0.343	0.441	0.189	0.027

E（ξ）=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的性质的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．