Question

11．已知m．n为正整数，实数x，y满足x+y=4（$\sqrt{x+m}+\sqrt{y+n}$），若x+y的最大值为40，则m+n=10．

Answer 1

分析 配方可得，（$\sqrt{x+m}$-2）²+（$\sqrt{y+n}$-2）²=m+n+8，可令$\sqrt{x+m}$=2+$\sqrt{m+n+8}$cosα，$\sqrt{y+n}$-2=2+$\sqrt{m+n+8}$sinα，两边平方，再由两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可求得最大值，进而得到m+n．

解答 解：x+y=4（$\sqrt{x+m}+\sqrt{y+n}$），
即为（x+m）+（y+n）-4（$\sqrt{x+m}+\sqrt{y+n}$）=m+n，
配方可得，（$\sqrt{x+m}$-2）²+（$\sqrt{y+n}$-2）²=m+n+8，
可令$\sqrt{x+m}$=2+$\sqrt{m+n+8}$cosα，$\sqrt{y+n}$-2=2+$\sqrt{m+n+8}$sinα，
由平方相加，可得x+y+m+n=8+m+n+8+4$\sqrt{m+n+8}$（sinα+cosα）
=m+n+16+4$\sqrt{m+n+8}$•$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
即有sin（α+$\frac{π}{4}$）=1时，x+y取得最大值40，
即为16+4$\sqrt{m+n+8}$•$\sqrt{2}$=40，
解得m+n=10．
故答案为：10．

点评 本题考查三角换元求函数的最值，同时考查两角和的正弦公式及正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．