Question

（2013•哈尔滨一模）选修4-5：不等式选讲
已知函数 f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a）
（1）当a=5时，求函数f（x）的定义域；
（2）当函数f（x）的值域为R时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）零点分段法：令|x-1|+|x-5|-5＞0，按x＜1，1≤x≤5，x＞5三种情况讨论去掉绝对值符号即可解得不等式；
（2）f（x）的值域为R说明函数定义域是（0，+∞），求出f（x）的最小值，由最小值可得a的取值范围；

解答：解：（1）当a=5时，f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-5），
令|x-1|+|x-5|-5＞0，
当x＜1时，|x-1|+|x-5|-5=（1-x）+（5-x）-5=1-2x＞0，得x＜

1

2

；
当1≤x≤5时，|x-1|+|x-5|-5=-1＜0不满足题意；
当x＞5时，|x-1|+|x-5|-5=2x-11＞0，得x＞

11

2

；
综上，f（x）的定义域为{x|x＜

1

2

或x＞

11

2

}；
（2）当f（x）的值域为R时，说明函数定义域是（0，+∞），
因为|x-1|+|x-5|的最小值为4，
所以当a≥4时，|x-1|+|x-5|-a可以取到（0，+∞），
故a的取值范围是[4，+∞）．

点评：本题考查函数的定义域、值域以及对数函数的性质，考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，属中档题．