Question

有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M=

x

4

，N=

3

4

x-1

 （x≥1）．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？共能获得多大利润？

Answer 1

分析：设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为（8-x）万元，故可知共获利润y=

1

4

(8-x)+

3

4

x-1

 令

x-1

=t　（0≤t≤

7

），则x=t²+1，从而y=

1

4

(7-t2)+

3

4

t=-

1

4

(t-

3

2

)2+

37

16

，由此可求获最大利润时，投入甲种、乙种商品的资金．

解答：解：设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为（8-x）万元，…（2分）
共获利润y=

1

4

(8-x)+

3

4

x-1

        …（6分）
令

x-1

=t　（0≤t≤

7

），则x=t²+1，
∴y=

1

4

(7-t2)+

3

4

t=-

1

4

(t-

3

2

)2+

37

16

…（10分）
故当t=

3

2

时，可获最大利润 

37

16

万元．…（12分）
此时，投入乙种商品的资金为

13

4

万元，
投入甲种商品的资金为

19

4

万元．…（14分）

点评：本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，构造数学模型从而解决问题．需要对知识熟练的掌握并应用，属于中档题．