Question

11．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}（2-x），0≤x＜k\\{x^3}-3{x^2}+3，k≤x≤a\end{array}\right.$．若存在实数k使得函数f（x）的值域为[-1，1]，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{3}{2}，1+\sqrt{3}]$
• B． $[2，1+\sqrt{3}]$
• C． [1，3]
• D． [2，3]

Answer 1

分析 由分段函数知要分类讨论，由y=log₂（2-x）知$\frac{3}{2}$≤k≤2，从而求导y′=3x²-6x=3x（x-2），从而可得a≥2且f（a）=a³-3a²+3≤1，从而解得．

解答 解：∵y=log₂（2-x）的定义域为（-∞，2），
∴0＜k≤2，
当x∈[0，k）时，log₂（2-k）＜log₂（2-x）≤1；
又∵log₂（2-k）≥-1，
∴0＜k≤$\frac{3}{2}$，
∵y=x³-3x²+3的导数y′=3x²-6x=3x（x-2），
且y|_x=2=-1，
∴a≥2且f（a）=a³-3a²+3≤1，
解得，2≤a≤1+$\sqrt{3}$；
故选B．

点评 本题考查了分段函数的应用及导数的综合应用，同时考查了分类讨论的思想应用．