Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，根据图象：

（1）写出函数f（x），x∈R的增区间并将图象补充完整；
（2）写出函数f（x），x∈R的解析式；
（3）若函数g（x）=f（x）﹣4ax+2，x∈[1，3]，求函数g（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，，

则f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）

（2）解：令x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=x2﹣2x

∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x

∴解析式为f（x）=

（3）解：g（x）=x2﹣2x﹣4ax+2，对称轴为x=2a+1，

当2a+1≤1时，g（1）=1﹣4a为最小；

当1＜2a+1≤3时，g（2a+1）=﹣4a2﹣4a+1为最小；

当2a+1＞3时，g（3）=5﹣12a为最小；

∴g（x）min=

【解析】（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，由图象可得f（x）的单调递增区间；（2）令x＞0，则﹣x＜0，根据条件可得f（﹣x）=x2﹣2x，利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x，从而可得函数f（x）的解析式；（3）先求出抛物线对称轴x=2a﹣﹣1，然后分当2a+1≤1时，当1＜2a+1≤2时，当2a+1＞2时三种情况，根据二次函数的增减性解答．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．