Question

【题目】已知函数是奇函数。

(1)求实数m的值；

(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性，并给出证明；

(3)当x∈(n,a-2)时,函数f(x)的值域是(1,+∞),求实数a与n的值.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) .

【解析】试题分析：

(1)由奇函数的性质得到关于实数m的方程，解方程可得m=-1；

(2)结合(1)的结论首先确定函数的解析式，结合对数函数的性质可知当a>1时,f(x)在(1,+∞)上单调递减； 当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)上单调递增；

(3)结合奇函数的性质和(2)中确定的函数的单调性得到关于实数a,n的方程组，分类讨论求解方程组可得.

试题解析：

（1）由为奇函数，则对定义域任意恒有即 （舍去1）

(2)由（1）得，当时，

当时， 现证明如下：

设，

(3)由题意知定义域上的奇函数。

①当即时，由(2)知在(n,a-2)上f(x)为增函数，

由值域为(1,+∞)得无解；

②当(n,a-2)(1,+∞)即1≤n<a-2有a>3，

由（2）知在(n,a-2)上f(x)为减函数，

由值域为得