Question

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（Ⅰ）求证：DC⊥平面ABC；
（Ⅱ）设CD=a，求三棱锥A-BFE的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在图甲中∵AB=BD且∠A=45°，
∴∠ADB=45°，∠ABD=90°，即AB⊥BD，
在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC ，且平面ABD∩平面BDC=BD，
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD，
又∠DCB=90°，
∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，
∴DC⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：∵E、F分别为AC、AD的中点，
∴EF∥CD，又由（Ⅰ）知，DC⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，
∴，
在图甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°，
由CD=a得，，
∴，∴，
∴。