Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；（Ⅱ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．
（文科）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（Ⅰ）求证：DC⊥平面ABC；
（Ⅱ）设CD=a，求三棱锥A-BFE的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 先证明三棱柱是直三棱柱，由CC₁⊥A₁D，A₁D⊥B₁C₁，证得A₁D⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ） 如图所示建立直角坐标系A-xyz，求出二面角的两个面的法向量，求出两个法向量夹角的
余弦值，此余弦值的相反数即为所求．
（文答案）（Ⅰ） AB⊥BD，由面面垂直的性质可得AB⊥底面BDC，故AB⊥CD，又DC⊥BC，DC⊥平面ABC．
（Ⅱ） 证得EF⊥平面ABC，可得VA-BFE=VF-AEB=

1

3

S△AEB•FE，求出三角形AEB的面积和EF的长度，
即可求得结果．

解答：（Ⅰ）证明：因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，
所以AA₁⊥平面ABC，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱．
因为A₁D?平面A₁B₁C₁，所以CC₁⊥A₁D，
又因为A₁B₁=A₁C₁，D为B₁C₁中点，所以A₁D⊥B₁C₁．
因为CC₁∩B₁C₁=C₁，所以A₁D⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）解：因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA₁两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-xyz．
设AB=1，则C(0，1，0)， B(1，0，0)， A1(0，0，1)， D(

1

2

，

1

2

，1).

A1D

=(

1

2

，

1

2

，0)， 

A1C

=(0，1，-1)，设平面A₁DC的法向量为

n

=(x，y，z)，
则有

n •A1D=0 n •A1C=0

，

x+y=0 y-z=0

，x=-y=-z，取x=1，得

n

=(1，-1，-1)．
又因为|

n • AB

| n || AB |

|=

1

3

=

3

3

，AB⊥平面ACC₁A₁，
所以平面ACC₁A₁的法向量为

AB

=(1，0，0)，因为二面角D-A₁C-A是钝角，
所以，二面角D-A₁C-A的余弦值为-

3

3

．
（文答案）（Ⅰ）证明：在图甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°，∠ABD=90°，即AB⊥BD．
在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD，∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．
又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF∥CD，又由（Ⅰ）知，DC⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，∴VA-BFE=VF-AEB=

1

3

S△AEB•FE．
在图甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°，
由CD=a得BD=2a，BC=

3

a，EF=

1

2

CD=

1

2

a，
∴S△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

•2a•

3

a=

3

a2，∴S△AEB=

3

2

a2，
∴VA-BFE=

1

3

•

3

2

a2•

1

2

a=

3

12

a3．

点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，二面角的大小，直线与平面垂直的判定、性质的应用．