Question

【题目】设函数．

（1）若在处取到极值，求，的值，并求的单调区间；

（2）若对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；单调增区间为，单调减区间为；（2）.

【解析】

（1）首先求出导函数，根据题意可得，求出，的值，然后令，求出单调递增区间，令，求出单调递减区间.

（2）令，，是关于的一次函数且为减函数，根据题意只需令，存在，使得即可，求出，令，讨论的取值范围，确定的单调性，根据函数的单调性即可求解.

解：（1），

由题意，得，

即，解得

所以，．

所以，．

令，解得．令，解得．

所以的单调增区间为，单调减区间为．

（2）令，，

则是关于的一次函数且为减函数，

由题意，对任意，都存在，使得成立，．

则在有解．

令，只需存在，使得即可．

由于，

令，，则在上递增，．

①当时，，，即，在单调递增，

故，不符合题意．

②当时，，，

若，则，

所以在上恒成立，即恒成立，所以在上单调递减，

所以存在，使得，符合题意．

若，则，所以在上一定存在实数，使得，

所以在上恒成立，即恒成立，所以在上单调递减，

所以存在，使得，符合题意．

综上所述，当时，对任意，都存在，使得成立．